የጂኦሜትሪክ ዝርዝር

በሒሳብ ጥናት ውስጥ አንድ የቁጥሮች ዝርዝር በቀዳሚና ተከታይ አባሎቹ መካከል ቋሚ ውድር (ratio) ካለው ያ ዝርዝር የጆሜትሪ ዝርዝር ይባላል።

የወይነጠጆቹ አራት ማእዘኖች ስፋት ድምር የትልቁ ነጭ አራት ማእዘን 1/3ኛ ነው

ምሳሌ ፦

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

እያንዳንዱን ቀጣይ ቁጥር ከፊት ያለውን ቁጥር በ1/2 ኛ በማባዛት ማግኘት ስለምንችል ከላይ የተቀመጡው ዝርዝር የጆሜትሪ ዝርዝር ይባላል።

የጆሜትሪ ዝርዝር ቀላል ቢመስልም ጥቅሙ ግን ስፋት ባላቸው የጥናትና ምርት ምህንድስና ስራወች ላይ ከፍተኛ ጠቃሚነት አለው። አንድናንድ የጆሜትር ድርድሮች ለዘላለም ይቀጥሉ እንጂ ድምር ውጤታቸው ግን የተወሰነ ቋሚ ቁጥር ስለሆነ ለካልኩለስ ጥናት መወለድ እና እድገት ከፍተኛ አስተዋጾ አድርጓል። ባጠቃላይ መልኩ የጆሜትሪ ዝርዝር በምህንድስና፣ ስነ-ተፈጥሮ፣ ካልኩለስ፣ ሒሳብ፣ ስነ-ህይወት፣ ኮምፒዩተር ሳይንስ፣ ስነ-ንዋይ] እና መሰል የጥናት ዘርፎች ውስጥ ግልጋሎት እየሰጠ ያለ የሒሳብ መሳሪያ ነው።

የጋራ ውድር

ከላይ እንዳየነው እያንዳንዱ የጆሜትሪ ዝርዝር አባል ከፊት ካለው አባል በአንድ ቋሚ ቁጥር እይተባዛ የሚገኝ ነው። እታች ያለው ሰንጠረዥ ይሄን ጉዳይ ለማስረዳት ይሞክራል፦

የጋራ ውድር	ምሳሌ
10	4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
1/3	9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
1/10	7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ···
1	3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
−1/2	1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + ···
–1	3 − 3 + 3 − 3 + 3 − ···

እያንዳንዱ አባል ቁጥር ባህርይ እንግዲህ በውድሩ መጠን ይወሰናል: ውድሩ በ-1 እና በ+1 መካከል ከሆነ፣ የድርድሩ አባሎች ቁጥራቸው በጨመረ ጊዜ ይዘታቸው እየተመናመነ እና እየከሱ ይሄዳሉ፣ በዚህ ምክንያት ወደ ዜሮ በማያቋርጥ ሁኔታ ይነጉዳሉ። ከላይ ውድሩ 1/2ኛ የሆነው ዝርዝር አባላቱ ወደ ዜሮ እየተጠጉ እንደሚሄዱ በአይነ ህሊናችን ልንደርስበት እንችላለን :፡ ወደሁዋላ ላይ እንደምናየው ይህ ጸባይ፣ አጠቃላይ ድምራቸው ቋሚ ቁጥር እንዲሆን አስችሏቸዋል። በአንጻሩ የድርድሩ ውድር ከ -1 ካነሰ ወይም ከ1 ከበለጠ፣ የድርድሩ አባሎች እየወፈሩና መጠን እያጡ ይሄዳሉ። እነዚህ አባሎች ቢደመሩ፣ ባይነ ህሊናችን ማስተዋል እንድምንችለው ድምሩ ከጊዜ ወደጊዜ እየጨመረ እንጂ እያነሰ አይሄድም። በዚህም ክንያት ማንንም የማይጠጋ ዝርዝር (Divergent Series) እንለዋለን።

ውድሩ +1 ከሆነ አባል ቁጥሮቹ አንድ ቋሚ ቁጥር ይይዛሉ። ለምሳሌ የመጀመሪያው ቁጥር 2 ከሆነ፣ ድርድሩ እንግዲህ 2፣2፣2፣2፣2፣2፣2፣2... ይሆናል ማለት ነው። የዚህ ዝርዝር ድምር ወጤትም እያደገ ስለሚሄድ ማንንም ቁጥር አይጠጋም ስለዚህ ማንንም የማይጠጋ ዝርዝር ነው ማለት ነው። በአንጻሩ ውድሩ -1 ክሆነ አባል ቁጥሮቹ አንድ አይነት መጠን ኖሮዋቸው ነገር ግን በነጌትቭ እና ፖዘቲቭ ቁጥርነት ይዋልላሉ። ለምሳሌ የመጀመሪያው ቁጥር -3 ቢሆን ድርድሩ ይህን ይመስላል -3፣3፣-3፣3፣-3፣... የዚህ ዝርዝር ውጤትም 0፣ -3፣ 0፣ -3፣...እያለ ዥዋዥዌ ስለሚጫወት፣ ማንንም የማይጠጋ ዝርዝር ነው ማለት ነው።

ድምር

የጆሜትሪ ዝርዝር ድምር ውጤት ሊተነበይ ይችላል። ይህ ግን እሚሆነው ወይም ለተወሰኑ የዝርዝር አባሎች ወይም ደግሞ ለየተይሌሌ ከሆነ ውድራቸው በ-1 እና በ1 መካከል ለሆኑት ወይም ደግሞ በሌላ አባባል አባል ቁጥራቸው ወደ ዜሮ እየተጠጋ ለሚሄዱት ብቻ ነው። ድምሩም የሚገኝበት ዘዴ በጣም ቀላል ነው ምክንያቱም እያንዳንዱ አባል ከሱ በፊት ያለው አባል ብዜት ስለሆነና ማብዣውም ቋሚ ስለሆነ ይህን ተመሳሳይ ባህርይ የማስላቱን መንገድ እጅግ ቀላል ያድረገዋል። ይህን ዘዴ እንመልከት፦

ምሳሌ

ከራሱ ጋር ተመሳሳይየሆኑ አባላት ያሉትን ድርድሮች እንዴት መደመር እንድሚቻል የሚያሳይ ስዕል። የመጀመሪያውን ትልቅ ክብ ከአጠቃላዩ ብናነሳ የምናገኘው አዲሱ የክቦች ስብስብ ከመጀመሪያው ጋር ተመሳሳይ ሆነው ግን 1/3ኛ በመጠናቸው ይሆናሉ

የሚከተለውን የጆሜትሪ ዝርዝር ድምር እንመልከት:

$s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots$

የዚህ ዝርዝር ውድር እንግዴህ 2/3ኛ ነው። እንግዲህ ድርድሩን በሙሉ በ2/3ኛ ብናበዛ, ድሮ 1 የነበር አሁን 2/3ኛ ይሆናል, 2/3 ድግሞ 4/9 ይሆናል, 4/9 ወደ 8/27ኛ ይለወጣል ...ወዘተረፈ

${\frac {2}{3}}s\;=\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots$

የመጀመሪያው ቁጥር 1 በ 2/3ኛ ከመለወጡ ውጭ፣ ይህ አዲሱ ዝርዝር ከድሮው ዝርዝር ጋር ምንም ልዩነት የለውም ። እንግዴህ አዲሱን ዝርዝር ከድሮው ዝርዝር ስንቀንስ

${\frac {2}{3}}s$ ከመጀመሪያው አባል (1) በቀር የተቀሩት አባሎች በሙሉ እርስ በርሳቸው ይጠፋፋሉ:

$s\,-\,{\frac {2}{3}}s\;=\;1,\;\;\;\;\;\;\;\;{\mbox{thus}}S=3.$

በዚህ መንገድ ማናቸውንም ከራሳቸው ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ድምሮችን መደመርና ውጤቱን ማወቅ እንችልለን።

አጠቃላይ ፎርሙላ

ወደራቸው 1 ወይም -1 የሆኑ የጆሜትሪ ድርድሮች የመጀመሪያ በ+1 አባሎች ድምር ውጤት ይህን ይመስላል:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}},$

እዚ ላይ a ማለት የድርድሩ የመጀመሪያ አባል ማለት ነው, r ደግሞ የጋራው ውደር ነው። ይህን ፎርሙላ ለማግኘት በሚከተለው መንገድ እንንቀሳቀሳለን:

${\begin{aligned}&{\text{እነሆ }}s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n}.\\[4pt]&{\text{ከዚያ }}rs=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n}+r^{n+1}.\\[4pt]&{\text{ከዚያ }}s-rs=s(1-r)=1-r^{n+1},{\text{ so }}s={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}$

ከላይ a'ን ለጊዜው ገለል አድርገን በ 1 ስለተካናት የላይኛው ፎርሙላ አጠቃላይ መሆኑ ቀርቶ የመጀመሪያው ቁጥራቸው 1 ለሆኑ ድርድሮች ብቻ ይሰራል ማለት ነው። አጠቃላይ ለማድረግ እንግዲ ሁሉንም በ'a ማብዛት ግድ ይላል።

ከላይ ያለው ፎርሙላ እንግዲ የሚሰራው ውድራቸው 1 ላልሆኑ ለማናቸውም የጆሜትሪ ዝርዝር ሲሆን፣ የተደማሪወቹ ቁጥር የተወሰነ ወይም ደግሞ የትየለሌ ያልሆነ መሆን አለበት። ውድራቸው በ-1 እና በ 1ለሆኑ ድርድሮች ግን፣ አባሎቻቸው ማለቂያ ባይኖራቸው እንኳ ድምራቸው ይገኛል። ከዚህ በታች ዘዴው ተዘርዝሯል፦

$s\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.$

a = 1 በሚሆን ጊዜ፣ ከላይ የተጻፈው ፎርሙላ የሚከተለውን መልክ ይይዛል፦

$1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},$

ይህ ፎርሙላ የተገኘበትም መንገድ ይህን ይመስላል፦

${\begin{aligned}&{\text{እነሆ }}s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots .\\[4pt]&{\text{ከዚያ }}rs=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots .\\[4pt]&{\text{ከዚያ }}s-rs=1,{\text{ so }}s(1-r)=1,{\text{ and thus }}s={\frac {1}{1-r}}.\end{aligned}}$

አጠቃላዩ ፎርሙላን ለማግኘት እንግዲህ በa ማብዛት ሊኖርብን ነው ማለት ነው።

ይህ ፎርሙላ የሚሰራው ለተጠጊ ድርድሮች ብቻ እንደሆነ እንዳንረሳ። ማለት ተጠጊ ያልሆኑ ድርድሮችን በደፈናው ከላይ በተቀመጠው ፎርሙላ መደመር ይቻላል፦ ለምሳሌ ውድሩ 10 r = 10 የሆነ አንድ ዝርዝር በላይ ባለው ፎርሙላ ብንደመርው s = −1/9 የሚል መልስ እናገኛልን ነገር ግን ይሄ ስህተት ነው ምክናይቱም ውድሩ 10 የሆነ ዝርዝር ተጠጊ ዝርዝር አይደለማ።

ይህ ጥንቃቄ ለ የአቅጣጫ ቁጥሮች complex ሳይቀር ይሰራል። ለምሳሌ የውድሩ መጠን ከ1 ካነሰ የሚከተለው ዝርዝር ተጠጊ ዝርዝር ይሆናል፦

$\sum _{k=1}^{\infty }ar^{-k}={\frac {a}{r}}+{\frac {a}{r^{2}}}+{\frac {a}{r^{3}}}+{\frac {a}{r^{4}}}+\cdots ={\frac {a}{r-1}}.$

a = 1 ሲሆን, ከላይ የጻፍነው ወደዚህ ይቀየራል፦

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+{\frac {1}{r^{4}}}+\cdots ={\frac {1}{r-1}}.$

እስካሁን በቁጥር የጻፍነውን በቅርጻ-ቅርጽ ለማየት የሚከተለውን ምሳሌ ከ E.Hairer and G.Wanner, Analysis by Its History, section III.2, FIGURE 2.1, page 188, Springer 1996 እንውሰድ:

ጥቅም

ድግግም የነጥብ ቁጥሮችን ዋጋ ለማግኘት

እራሳቸውን የሚደጋግሙ የነጥብ ቁጥሮች ውድራቸው የ1/10 ንሴት (exponent)እንደሆነ አድርገን መተርጎም እንችላለን። ለምሳሌ:

$0.7777\ldots \;=\;{\frac {7}{10}}\,+\,{\frac {7}{100}}\,+\,{\frac {7}{1000}}\,+\,{\frac {7}{10,000}}\,+\,\cdots .$

እንግዲህ ይህን ተደጋጋሚ የነጥብ ቁጥር ወደ ክፋይ ለመለወጥ ከላይ ያገኘናቸውን ፎርሙላወች መጠቀም እንችላለን:

$0.7777\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {7/10}{1-1/10}}\;=\;{\frac {7}{9}}.$

ይህ ፎርሙላ ለምትደጋገም አንዲት ቁጥር ብቻ ሳይሆን በቡድን ሆነው ለሚደጋገሙ ቁጥሮች ሳይቀር ይሰራል። ምሳሌ:

$0.123412341234\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {1234/10000}{1-1/10000}}\;=\;{\frac {1234}{9999}}.$

ከዚህ እንደምንረዳው ማናቸውንም ተደጋጋሚ የነጥብ ቁጥሮች በቀላሉ በንደዚህ መንገድ ወደ ክፋይ ቁጥሮች መቀየር እንችላለን፦

$0.09090909\ldots \;=\;{\frac {09}{99}}\;=\;{\frac {1}{11}}.$

$0.143814381438\ldots \;=\;{\frac {1438}{9999}}.$

የፓራቦላን ስፋት በአርኪሜድ መንገድ ለማግኘት (ያለ ካልኩለስ)

በፓራቦላውና በቀጥተኛ መስመሩ መካከል የሚገኘው ስፋት የብዙ ሶስት ማእዘኖች ጥርቅም ውጤት ነው ።

አርኪሜድስ የተሰኘው የጥንቱ የግሪክ ሒሳብ ተመራማሪ በፓራቦላና በቀጥታ መስመር መካከል ያለውን ስፋት መጠን በጆሜትሪ ዝርዝር ነበር ያገኘው። በዚህም ጥረቱ አርኪሜድስ የፓራቦላውን አጠቃላይ ስፋት የሰማያዊው ሶስት ማእዘን 4/3ኛ እንደሆነ አረጋግጦአል። ይህ አስደናቂ የሚሆንበት ያለምንም ካልኩለስ ጥናት ይህን ውጤት ማግኘቱ ነው።

ማሳመኛ፦ አርኪሜድስ ባደረገው ጥናት እያንዳንዱ ቢጫ ሶስት ማእዘን 1/8 የሰማያዊ ሶስት ማእዘኖችን የስፋት ይዘት እንዳላቸው ተረዳ፣ በተራቸው አረንጓዴወቹ ደግሞ 1/8 የቢጫወቹ እንደሆነ አረጋጠ...ወዘተረፈ.. እንግዲህ ሰማያዊው ሶስት ማእዘን ስፋቱ 1 ካሬ ሜትር ነው ብንል፣ ቢጫውን፣ አረንጌዴውንና ሌሎቹ የትየለሌ በፓራቦላውና በቀሩት ሶስት ማእዘኖች መካከል ያሉትን ጥቃቅን ሶስት ማእዘኖችን ስፋት ለመደመር እንዲህ እናደርጋለን ማለት ነው፦

$1\,+\,2\left({\frac {1}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}\,+\,8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}\,+\,\cdots .$

ከላይ፣ የመጀመሪያው ቁጥር የሚያሳየው የሰማያዊውን ሶስት ማእዘን ስፋት ነው፣ ከዚያ የቢጫ ሶስት ማእዘኖችን፣ ከዚያ የአረንጓዴወቹን፣ ይቀጥላል..። ክፍልፋዮቹን ስናቃልል ይህን እናገኛለን፦

$1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .$

እንደምንገነዘበው ይ ሄ እንግዲህ የጆሜትሪ ዝርዝር ሲሆን የጋራ ውድሩም1/4 ነው። ስለዚህ ከላይ ባገኘነው ፎርሙላ መሰረት አጠቃላይ ስፋቱ እንዲህ ይሆናል፦

$\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;$

ድምሩ እንግዲህ

${\frac {1}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}\;=\;{\frac {4}{3}}.$    ማሳመኑ ተጠናቀቀ

ባሁኑ ጊዜ የፓራቦላ ስፋት በ ካልኩለስ ሲጠና፣ የሚገኝበትም ዘዴ የተወሰነ ኢንቴግራል ይባላል።

የጥንቱ ግሪካዊ ዜኖ እንቆቅልሽ

ጥንታዊው ዜኖ እንዲህ ሚል እንቆቅልሽ ነበረው- እያንዳንዱን እርምጃ ለመውሰድ መጀመሪያ ግማሹን መንገድ መጓዝ ይጠይቃል፣ ግማሹን ለመጉዋዝ ደግሞ የዚያን ግማሽ መጓዝ ይጠይቃል ወዘተረፈ.... አንድን የተወሰነ ርቀት ለመጓዝ የትየለሌ ርምጃ ስለሚያስፈልግ በዚህ ምክንያት እንቅስቃሴ ባጠቃላይ የማይቻል ነው ይል ነበር። ነገር ግን ከላይ እንዳይነው 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...መልሱ የትየለሌ ሳይሆን አንድ ቋሚ ቁጥር ነው።ማለት ዜኖ ያሰበው የትይለሌ የሚሆኑ የተወሰኑ እርምጃወች ሲደመሩ የተወሰነ ርቀት ሳይሆን የትየለሌ ይሆናል ብሎ ነበር። በዚህ ገጽ መግቢያ ላይ ይህ አስተያየት ስህተት መሆኑን ስላየን፣ የሱ እንቆቅልሽ በዚህ መንገድ ተፈቷል።

ስነ ንዋይ

ለምሳሌ ሎተሪ ቆርጠው ሽልማቱ 100 ብር ከሚቀጥለው ዓመት ጀምሮ በየዓምቱ እስከ እለተ ህልፈትዎ የሚያስከፍል ይሁን። የዛሬ አንድ አመት 100 ብር መከፈልና አሁን 100 ብር በኪስዎ መያዝ አንድ አይደሉም ምክንያቱም አሁን ብሩን ቢያገኙት ስራ ላይ አውለውት ትርፍ ሊያስገኝለወት ይችላልና። የዛሬ ዓመት የሚከፈለው 100 ብር በአሁን ጊዜ ይህን አይነት ዋጋ ለእርስዎ አለው $100 / (1 + I) I እንግዲህ ወለድ ነው.

በተመሳሳይ የዛሬ ሁለት ዓመት የሚከፈልዎ $100 አሁን ይህን አይነት ዋጋ ለእርስዎ አለው ፦ $100 / (1 + I)² በ2 ከፍ ያለበት ምክንያት ወለዱን ሁለት ጊዜ ሊያገኙ ይችሉ ስለነበር ነው ። ስለዚህ እስከ ዘላለም 100 ብር ቢከፈልዎ ከሚቀጥለው ዓመት ጀምሮ፣ አሁን ለእርስዎ ያለው ዋጋ ይህን ይመስላል፦

${\frac {\$100}{1+I}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .$

ይህ እንግዲህ የጆሜትሪ ዝርዝር ሲሆን የጋራ ውድሩም 1 / (1 + I)ነው። ከላይ ባገኘነው ፎርሙላ ስንደምረው

${\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}.$ ይሆናል።

ለምሳሌ የአመቱ ወለድ 10% ቢሆን (I = 0.10), አጠቃላይ ድምሩ $1000 ነው ማለት ነው። ማለት ዘላለምወን 100$ በየዓመቱ ቢከፈልወና አሁን 1000 ብር ኪስወ ቢኖር ሁለቱ አንድ ዋጋ ነው ያላቸው ( እዚህ ላይ ማወቅ ያለብን 100 ብሩን ስራ ላይ አውለወት በአመት 10% ወለድ እየወለደልወ እንደሆነ ነው)።

ይህ አይነት ስሌት ለ ሞርጌጅ ክፍያ በባንኮች ዘንድ የሚጠቀሙበት ነው። የስቶክ ተጠባቂ ዋጋንም ካሁኑ ለመተንበይ ይጠቅማል። ባጠቃላይ የብድርን አመታዊ ወለድ ፐርሰንቴጅ ለማስላት ነጋዴወችና ባንኮች የሚጠቀሙበት ዘዴ ነው።

የታወቁ አንዳንድ የጆሜትሪ ድርድሮች

• የጋንዲ ዝርዝር
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

1/2 + 1/4 + 1/8 + .....= 1 እንደሆነ የሚያሳይ ምሳሌ፦

• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·

ማጣቀሻወች

• James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0534393397
• Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0618502981
• Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0883857007

የዚህ ክፍል ታሪክና ፍልስፍና

• C. H. Edwards, Jr. (1994). The Historical Development of the Calculus, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0387943138.
• Eli Maor (1991). To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Princeton University Press. ISBN 978-0691025117
• Morr Lazerowitz (2000). The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy), Routledge. ISBN 978-0415225267

ስነ-ነዋይ

• Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists, W. W. Norton & Company. ISBN 978-0393957334
• Mike Rosser (2003). Basic Mathematics for Economists, 2nd ed., Routledge. ISBN 978-0415267847

ስነ-ፍጥረት

• Edward Batschelet (1992). Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0387096483
• Richard F. Burton (1998). Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking, Cambridge University Press. ISBN 978-0521576987

የኮምፒዩተር ሳይንስ

• John Rast Hubbard (2000). Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java, McGraw-Hill. ISBN 978-0071378703

ተጨማሪ ድረ ገጾች

• Peppard, Kim. "College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series". West Texas A&M University.
• Casselman, Bill. "A Geometric Interpretation of the Geometric Series" (Applet). Archived from the original on 2014-12-21. በ2010-10-25 የተወሰደ.
• "Geometric Series" by Michael Schreiber, en:Wolfram Demonstrations Project, 2007.