አስረካቢ

በሒሳብ ጥናት አስረካቢ (ፈንክሽን) አንድን ብዘት(ኳንትቲ) ከሌላ ብዘት ጋር ያጣምራል። የመጀመሪያው ተጣማሪ ብዘት ግቤት ይባላል፣ ሁለተኛው ውጤት ይሰኛል። አስረካቢ ምንግዜም አንድ ግቤት ወስዶ ለአንድ ብቻ ውጤት ያስረክባል እንጂ ለሁለት ውጤቶች አይሰጥም። ይህ ባህሪው ከሌላ አይነት ዝምድና ይለየዋል። አስረካቢ በአብዛኛው እንዲህ ይጻፋል f(x) ፣ ሲነበብ "ኤፍ ኦፍ ኤክስ" ወይን የ ኤክስ አስረካቢ ይባላል።

ቀኖናዊ የአስረካቢ ትርጉምና የተለያዩ አስረካቢን ለመወከል የሚረዱ ዘዴዎች

አስረካቢ በጥንቃቄ ሲተረጎም የሦስት ቅደም-ተከተከል ያላቸው ስብስቦች (X, Y, F) ጥንድ ሊባል ይችላል። X የአስረካቢው ግዛት, Y ተጣማሪ ግዛት, እና F ደግሞ የሁለቱ ቅደም ተከተል ያላቸው አባላት (a, b) ጥንድ ነው። በመጨረሻው ጥንድ ውስጥ ያለው የመጀመሪያ አባል a ከአስረካቢው ግዛት የተወሰደ ሲሆን፣ b ደግሞ ከተጣማሪ ግዛቱ የተወሰደ ነው። እዚህ ላይ መረሳት የሌለበት ማናቸውም በግዛቱ ስብስብ ያሉ አባላት በጥንዶቹ ውስጥ መካተት አለባቸው። የተጣማሪው ግዛት አባላት ግን ላይወከሉ ይችላሉ። ƒ:X→Y ማለት ƒ አስረካቢ ሲሆን፣ X ግዛቱ Y ተጣማሪ ግዛቱ ናቸው። f የ X ን አባላት ለ Y አባላት ያስረክባል ወይንም አባላቶቹን ያጣምራል እንላለን።

የአስረካቢው ግዛት እና ተጣማሪ ግዛት እውን ቁጥሮች ቢሆኑና ተጣማሪው በሚከተለው ቀመር መልኩ ቢጻፍ $y=x^{2}$ ይህን ሁኔታ ከላይ በተቀመጠው የሦስት ጥን ቀኖናዊ አጻጻፍ መሰረት እንዲህ ይጻፋል፦

\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,x^{2}\right):x\in \mathbb {R} \right\}\right)

,

ብዙ ጊዜ የአንድ አስረካቢ የግቤቱና የውጤቱ ግዛትና ተጣማሪ ግዛት ስለሚታወቅ እኒህ ግዛቶች አይጻፉም። ስለሆነም አስረካቢው እንዲሁ ግቤቱን እና ውጤቱን በሚያዛምድ ቀመሩ ብቻ ተጽፎ ይታያል። ከቀኖናዊ አጻጻፍ በተጨማሪ አስረካቢዎች በብዙ አይነት መንገድ ሊወከሉ ይችላሉ። በቀመር መልክ፣ በአልጎሪዝም፣ ግራፍ፣ ሰንጠረዥ እንዲሁም በስብስብ ቬን ዳያግራም፣ ወዘተ መልኩ ይቀርባሉ።

ቀመር

አጭር ቀመር

ሰንጠረዥ

ግራፍ

ስብስብ (ቬን ዳያግራም)

{\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto \ 2x\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ f(x)=\ 2x\end{aligned}}

x	1	2	3	4	5	6	7	…
$y$	2	4	6	8	10	12	14	…

ለአስረካቢ ጽንሰ ሐሳብ የሚረዱ ቃላቶች ትርጓሜ

የአስረካቢ ግዛት፡ የአንድ አስረካቢ ግቤቶች ሙሉ ስብስብ የአስረካቢው ግዛት (ዶሜይን) ይሰኛል።
ተጣማሪ ግዛት፡ አንድ አስረካቢ ሊያስረክባቸው የሚችላቸው ውጤቶች ሙሉ ስብስብ ተጣማሪ ግዛት (ኮዶሜይን) ይሰኛል። ተጣማሪ ግዛት ውስት ያሉ አባላት የግዴት ተረካቢ ሊሆኑ አይገባም። ሊረከቡ የመቻል አዝማሚያ ካላቸውም ብስብስቡ ይጠቃለላሉ።
የአስረካቢ ምስል፡ የአንድ አስረካቢ እውን ውጤቶች ስብስብ የአስረካቢ ምስል (ሬንጅ ወይንም ኢሜጅ) ይሰኛል።
ግራፍ፡ የአንድ አስረካቢ ግቤቶች እና ውጤቶች ቅደም ተክተላዊ ጥንድ { (x, f(x) }ስብስብ፣ የዚያ አስረካቢ ግራፍ ይሰኛል።

ለምሳሌ f(x) = 2x፣ የሚሰጠውን ግቤት እጥፍ የሚሰጥ አስረካቢ ነው። ለምሳሌ 5 ቢገባበት ውጤቱ 10 ያወጣል። f(5) = 10.።

f(x) = 2x ፣ ግዛቱ እውን ቁጥሮች (ሪል ነምበርስ) ከሆኑ ተጣማሪ ግዛቱ እና ምስሉ እንዲሁ እውን ቁጥሮች ናቸው። ግዛቱ የተፈጥሮ ቁጥሮች (ናቹራል ነምበርስ) ከሆነ ግን ምስሉ ተካፋይ ቁጥሮች (ኢቭን ነምበርስ) ሲሆኑ፣ ተጣማሪ ግዛቱ ያው የተፈጥሮ ቁጥሮች ናቸው።

የአንድ አስረካቢ ግቤት ቁጥር ሊሆን ግድ አይደለም። ይልቁኑ ማናቸውም አይነት የስብስብ አባላት ሊሆኑ ይችላሉ። ለምሳሌ ወፍጮ የአስረካቢ አይነት ነው፣ አንድን እህል ወስዶ የዚያን እህል ዱቄት ይሰጣል። አንድ ወፍጮ ጤፍ ግቤቱ ቢሆን ሁለት አይነት ውጤት (ለምሳሌ የጤፍና የስንዴ ዱቄት) አይሰጥም። ደብዳቤ አስረካቢ ለምሳሌ አንድን ደብዳቤ ለአንድ አድራሻ በማድረስ የአስረካቢ አይነት ስራ ይሰራል፣ ወዘተ...

የአስረካቢ ቅብብል

ዋና መጣጥፍ፦ ቅብብል

ቅብብል አስረካቢ g(f(x)) በሁለት ወፍጮዎች ሊመሰል ይችላል። የመጀመሪያው ግቤት x ን ይወስድና ለውጤት f(x) ያስረክባል። ሁለተኛው f(x) እንደ ግቤት ይወስድና ውጤት g(f(x))ን ያወጣል ወይንም ያስረክባል

የአስረካቢ ቅብብል ከሁለት ወይንም ከዚያ በላይ አስረካቢዎች የተሰራ ሲሆን፣ የአንዱ አስረካቢ ውጤት ለሌላኛው አስረካቢ እንደ ግቤት የሚያገለግልበት ስርዓት ነው። አስረካቢ ƒ: X → Y እና g: Y → Z እንዲህ ሲደረግ ሊቀባበሉ ይችላሉ፣ መጀመሪያ አስረካቢ ƒ ግቤት x ን ወስዶ ለውጤት y = ƒ(x) ያስረክባል፣ ከዚያ አስረካቢ g ይህን ውጤት y ወስዶ ለውጤት z = g(y) ያስረክባል። በዚህ መልኩ የተሰራ ቅብብል አስረካቢ በሒሳብ ቋንቋ እንዲህ ይጻፋል

{\begin{aligned}g\circ f\colon X&\to Z\\x&\mapsto g(f(x)).\end{aligned}}

ወይን በቀላሉ ሲጻፍ

(g\circ f)(x)=g(f(x)).\

፣ ሲነበብ ከƒ ለg የሚያቀብል አስረካቢ።

የቅብብሉ ቅደም ተከተል ወሳኝ ነው፣ ምክንያቱም ከ ƒ ለg ማቀበልና ከg ለƒ ማቀበል ብዙ ጊዜ የተለያዩ ግቤቶችንና ውጤቶችን ያመጣሉና። ለምሳሌ፦

ƒ(x) = x² እና g(x) = x+1 ቢሰጡን

g(ƒ(x)) = x²+1, ከƒ ለg አቀባይ አስረካቢ

ƒ(g(x)) = (x+1)² = x²+2x+1, ከg ለƒ አቀባይ አስረካቢ

በዚህ አይነት መንገድ ብዙ ውስብስብ የሚመስሉ አስረካቢዎችን ከቀላል አስረካቢዎች ቅብብል መፍጠር ይቻላል።

መላሽ አስረካቢ

ዋና መጣጥፍ፦ መላሽ አስረካቢ

አስረካቢ ƒ እና መላሹ ƒ^–1. አስረካቢ ƒ ግቤት a ን ለ 3 ስለሚያስረክብ, መላሹ ƒ^–1 3 ን ለ a ያስረክባል.

አስረካቢ ƒ ከ X ወደ Y እሚያስረክብ ቢሆን፣ የ ƒ መላሽ አስረካቢ ƒ⁻¹, በተቃራኒ አቅጣጫ Y ን ወደ X, የሚያስረክብ ነው። ሁሉም አስረካቢዎች መላሽ አስረካቢ የላቸውም። መላሽ አስረካቢ ካላቸው ግን ተመላላሽ ይሰኛሉ።

አንድ አስረካቢ ተመላላሽ የሚሆነው አንድ ለአንድ አስረካቢ ከሆነና ከሆነ ብቻ ነው።

ለምሳሌ አስረካቢ ƒ በዲግሪ ሴልሲየስ C የተቀመጠን ሙቀት መጠን ወደ ፋረን ሃይት F ቢቀይር, የዚህ አስረካቢ መላሽ ƒ⁻¹. የሙቀት መጠንን ከፋረርሃይት F ወደ ሴልሲየስ C መልሶ ያመጣል ማለት ነው።

{\begin{aligned}f(C)&={\frac {9}{5}}C+32\\f^{-1}(F)&={\frac {5}{9}}(F-32)\end{aligned}}

ከአንድ ለአንድ ውጭ ያሉ የአስረካቢ አይነቶች (እንደ ትርፍ አስረካቢዎች፣ እና እንስ አስረካቢዎች)፣ ግዛቶቻቸውንና ጥምር ግዛቶቻቸውን በማስተካከል ተመላላሽ አስረካቢዎች ሊሆኑ የሚችሉበት መንገድ ሊዘጋጅ ይቻላል።

የሥነ አስረካቢ ታሪክ

ስለ አስረካቢ ታሪክ በተብራራ መልኩ በእንግሊዝኛው ውክፔዲያ ተጽፎ ይገኛል። (እንግሊዝኛ) የአስረካቢ ታሪክ

የአስረካቢ አይነቶች

የአሰረካቢ ግዛት አባላት በቋሚ ሁኔታ ሁላቸውም መጣመር ስላለባቸውና እያንዳንዳቸው ከአንድ የጥምረት ግዛት አባል ጋር የግድ መዛመድ ስላለባቸው አስረካቢዎችን ለመክፈል አይጠቅሙም። ይልቁኑ የአስረካቢ ተጣማሪ ግዛቶች (ውጤቶች) 4 ዓይነት መልኩ ከግዛቱ አባላት (ግቤቶች) ጋር ስለሚዛመዱ አስረካቢዎችን በ4 ይከፍላሉ። እነርሱም፦

ቁር.	ምልክት	ዓይነት ስም	ግቤት ብዛት/ውጤት ብዛት	ገለጻ	ሒሳባዊ ጸባይ	በተሰጡት ግቤቶችና ውጤቶች ልክ ሊሰሩ ሚችሉ አስላኪዎች
1	$f\colon \,P\rightarrowtail C$	ከ $P$ ወደ $C$ ጎደሎ አስረካቢ (ኢንጄክቲቭ፣ ኢንቱ)	≤ 1	ጎደሎ አስረካቢ አንድን ግቤት ለአንድ ብቻ ውጤት ያስረክባል። በሌላ አነጋገር፣ ጎደሎ-አስረካቢ የተጣማሪ ግዛቱን C አባላት ቢበዛ ቢበዛ ከአንድ የግዛቱ አባላት P ጋር ያጣምራል። የግቤቱ ግዛት ከውጤቱ ግዛት ወይ እኩል ናቸው ወይንም ያንሳሉ።	$\forall x\in P,$ $\forall y\in P,$ $[f(x)=f(y)]\Rightarrow [x=y]\,$	$c^{\underline {p}}$
2	$f\colon \,P\twoheadrightarrow C$	ከ $P$ ወደ $C$ ትርፍ አስረካቢ ( ሰርጀክቲቭ፣ ኦንቱ)	≥ 1	ትርፍ አስረካቢ ሁሉን የተጣማሪ ግዛት አባላቱን ከላኪ ግዛት አባላቱ በማጣመር ያለብሳል። በሌላ አነጋገር፣ ትርፍ-አስረካቢ የተጣማሪ ግዛት C አባላቱን ቢያንስ ቢያንስ ከአንድ የግዛቱ P አባላት ጋር ያጣምራል። የግዛቱ አባላት ብዛት ከአስረካቢው-ምስል ብዛት ወይ እኩል ናቸው ወይ ይበልጣሉ።	$\forall y\in C,$ $\exists x\in P,\ f(x)=y$	${c!}\left\{{\begin{matrix}p\\c\end{matrix}}\right\}$
3	$f\colon \,P\;\operatorname {\leftrightarrow } \;C$ $f\colon \,P\;\operatorname {\rightleftarrows } \;C$ $f\colon \,P\;\,\operatorname {\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail } \;C$	ከ $P$ ወደ $C$ አንድ ለአንድ አስረካቢ (ባይጄክቲቭ፣ ዋን ቱ ዋን)	=1	አንድ ለአንድ አስረካቢ እያንዳንዱን የተጣማሪ ግዛት አባላቱን ከአንድ ከአንድ ግዛት አባላቱ በማጣመር አንድ ለአንድ ጥምረት ይፈጥራል። በሌላ አነጋገር፣ አንድ ለአንድ-አስረካቢ የተጣማሪ ግዛት C አባላቱን ልዩ ከሆነ ከአንድ የግዛቱ P አባል ጋር ያጣምራል። የግዛቱ አባላት ብዛት ከአስረካቢው-ምስል ብዛት እና ከተጣማሪው ግዛት ብዛት ጋር እኩል ነው።	$\forall y\in C,$ $\exists !\ x\in P,\ f(x)=y$	$C!$
4	$f\colon \,P\ C$	ዝብርቅ አስረካቢ	♥ እንደልብ	ከላይ ከተጠቀሱት የአስረካቢ ዓይነቶች የሌለና አራተኛው የመጨረሻው አስረካቢ ዓይነት	ለማንኛውም አስረካቢ የሚሰራ ጸባይ ለዚህም ይሰራል	$C^{P}$ - የላዮቹ ብዛት