ከ«ላፕላስ ሽግግር» ለውጦች መካከል ያለው ልዩነት

Content deleted Content added
No edit summary
No edit summary
መስመር፡ 1፦
በሒሳብ ጥናት ውስጥ በከፍተኛ ደረጃ ስራ ላይ የሚውል የ[[መደመራዊ ሽግግር]] ቢኖር ይሄው [[ላፕላስ ሽግግር]] (Laplace Transform) የሚባለው ነው። ይህ ሽግግር በ[[ፊዚክስ]]፣[[ሒሳብ]]፣ በ[[ምህንድስና]]ና በ[[እድል ጥናት]] የዕውቀት ዘርፎች በከፍተኛ ስራ ላይ ይውላል። [[ሎጋሪዝም]] ማባዛትን ወደ መደመር እንደሚቀይርና ማባዛትን እንደሚያቃልል ሁሉ የላፕላስት ትራንስፎርም የካልኩለስን [[ሥነ ለውጥ]]ና [[ሥነ ማጎር]] ወደ ማባዛትና ማካፈል በማሻገር የካልኩለስን ተግባር ያቃልላል።
 
የላፕላስ ሽግግር ከ[[የፎሪየር ሽግግር|ፎሪየር ሽግግር]] ጋር ተዛማጅ ቢሆንም ቅሉ [[የፎሪየር ሽግግር]] ፈንክሽኖችን ወይም መልእክትን ወደ መስረታዊ የርግብግብ ክፍላቸው ሲበትናቸው(ሲያሻግራቸው) የ[[ላፕላስ ሽግግር]] ግን ወደ መሰረታዊ [[ሂሳባዊ|ቅርጻቸው]] ይበትናቸዋል። ሁለቱም ግን የ[[ዲፈረንሻልለውጥ ኢኮዥንእኩልዮሽ]]ን (ዲፈረንሺያል ኢኮዥን) ጥያቄወችን ለመፍታት የሚጠቅሙ ሂሳባዊ መሳሪያወች ናቸው። የላፕላስ ሽግግር በ[[ፊዚክስ]]ና በ [[ምህንድስና]] ከፍተኛ ጥቅም ያላቸው [[ቀጥተኛ-ጊዜ-የማይቀይራቸው ቀጥተኛ ]] (ሊኒያር ስርዓቶችንታይም ኢንቫሪያንት) ሥርዓቶችን ለመፍታት ሲሆን የዚህ ጥቅምምይህ ለኤሌክትሪክጉዳይ ምህንድስና፣የ[[ኤሌክትሪክ ለብርሃናዊምህንድስና]]ን፣ [[ብርሃን|ብርሃናዊ መሳሪያወች]] ምህንድስናን ሌሎች ምህንድስናናተነቀሳቃሽ ለተነቀሳቃሽእቃወችን እቃወችበቀላሉ ትልምለመተለም ነው።ይረዳል። በዚህ የትንታኔ (analysis) ስርዓትሥርዓት በጊዜ ግዛት ውስጥ ተቀምጠው ያሉትንያሉ ጥያቄወችጥያቄወችን ወደ [[ድግግሞሽ]] ውስጥ የተቀመጡግዛት ጥያቄወችጣይቄዎች በመቀየርበማሻገር የሚደረገውን የማንሰላሰልየስሌት ሂደት መቀነስ ነው።
 
<math>x(t) -->[system] --> y(t)</math> ... በጊዜ ውስጥ ያለ ስርዓት ሲሆን
 
<math> x(f) -->[system] -- > y(f)</math>.... በድግግሞሽ ስርዓትግዛት ያለ ነውሥርዓት
 
የላፕላስ ሽግግር ምልክት ይሄን ይመስላል <math>\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}</math> ። [[ቀጥተኛ ኦፕሬተር]] ሲሆን f(t)ን (t ≥ 0) ወደ F(s) (s እንግዲህ ድግግሞሽ [[ያቅጣጫ ቁጥር]] .ነው ) ይቀይራል።
 
==ታሪክ==
የላፕላስ ሽግግር በእውቁ የሒሳብና ከዋክብት ሊቅ [[ፕሬፒየ-ስሞን ላፕላስ ]] ስም የተሰየመ ሲሆን፣ ይሄው አጥኝ ይህን የሽግግርየሽግግሩን ግኝት የተጠቀመበት የ[[እድል ጥናቱንዕድል]] ጥናቱን በቀላሉ ለማካሄድ ነበር። ከስሞንከላፕላስ በፊት እርግጥ ነው [[ኦይለር]] የሚከተለውን አይነት [[ኢንቴግራልሥነ ማጎር]](ኢንቴግራል) አጥንቷል፦
:<math> z = \int X(x) e^{ax}\, dx\text{ and }z = \int X(x) x^A \, dx,</math>
ይህንም ያጠናው አንድ የአንድ አንድ [[ዲፈረንሻልለውጥ ጥያቄወችንእኩልዮሽ|ለውጥ እኩልዮሾችን]] ለመመለስመፍትሔ ለማግኘት ነበርነበር፤ ነገር ግን ነግሩን ጠለቅ ብሎ የማየት ዝንባሌ አላሳየም። [[ዮሴፍ ሉዊ ላግራንግ]] የተሰኘው የፈረንሳይ የሂሳብ ሊቅም በበኩሉ የ[[ኦይለር]] አድናቂ እንደሞሆኑ መጠን የ[[እድል ጭፍገትችፍገት]]ን (probability density) ለማስላት ተመሳሳይ ፎርሙላ ተጠቅሟል፦
 
:<math> \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,</math>
 
ይህ ስሌት አሁን ካለንበት የላፕላስ ሽግግር ቀመር ጋር ተመሳሳይ ቢሆንም ቅሉ ያሁን እውቀት አካል እንጂ ሙሉ በሙሉ የላፕላስ ሽግግርን እንደማይወክል ስምምነት ላይ ተደርሷል። [[ላፕላስ]] በ1782አካባቢ ከላይ የተጠቀሰውን የ[[ኦይለርን]] ቀመር ለ[[ዲፈረንሻልለውጥ ጥያቄእኩልዮሽ]] መልስነትመፍትሔነት ቢመረምርም ቅሉ በ1785 በጣም ወሳኝ ርምጃ ወስደ። ይሄውም ከላይ የተጻፉትን ኢንቴገራሎችሥነ-ማጎሮች እንደ የ[[ዲፈረንሻል ጥያቄ]] ከማየት ይልቅ እራሳቸውን የቻሉ የፈንክሽን አሻጋሪወች መሆናቸውን ተገነዘበ። ለዚህም ስራው እንዲረዳው ይህን የመሰለ የኢንቴግራልየማጎር ቀመር መጠቀም ጀመረ፦
:<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>
አንዳንድ የሂሳብ ታሪክ አጥኘወች ይህን ፈንክሽን የዘመናዊው ላፕላስ ሽግግር [[ኅልዮት]] አካል አድርገው ያዩታል። <ref>{{harvnb|Lagrange|1773}}</ref><ref>{{harvnb|Grattan-Guinness| 1997|p=260}}</ref>
 
ተግባሩም አጠቃላይ የ[[ልዩነት እኩልዮሽ|ልዩነት እኩልዮሾችን]] ከከባድ ወደ ቀላል በማሻገር ምፍትሔያቸውን በተሻገረው ቅርጽ መፈለግ ነበር። ቀጥሎም አሁን የሚታወቀውን የላፕላስ ሽግግር በማጥናት ባህርዮንናበመመርመር ጥልቅ የሆነ እምቅ ጥቅሙን ለመገንዘብ ቻለ።<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|pp=261&ndash;262}}</ref> ላፕላስ የ[[ዮሴፍ ፎሪየር]]ን የሙቀት ሥርፀት ጥናትና የ[[ፎሪየር ዝርዝር]] መፍትሔውን ውሱን ኃይል ለመረዳትናበመተቸት አስፋፍቶበአዲሱ በራሱቀመሩ ሽግግርፎርየር ለበለጡከፈታቸው ጥያቄወች የሰፉ ጥያቄወችን መልስ ለማግኘት ቻለ። <ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|pp=262&ndash;266}}</ref>
ኦይለርን በተከተለ መልኩ እኒህ አይነት [[ሥነ ማጎር|ሥነ ማጎሮች]](ኢንቴግራልስ) የላፕላስን ቀልብ ለመጀመሪያ ጊዜ የሳቡት በ1782ዓ.ም. ነበር። በዚህ ወቅት ሥነ ማጎሮቹን ይጠቀምበት የነበረው የለውጥ እኩልዮሾችን ለመፍታት ብቻ ነበር። <ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|p=261}}</ref>ነገር ግን 1785 ላይ ላፕላስ ዋና እርምጃ በመውሰድ ስነ ማጎሮቹን ለእኩልዮሽ መፍትሔነት ከመጠቀም ባሻገር አሁን ለምንጠቀምበት የማሻገር ተግባር መጠቀም ጀመረ። አዲሱ የላፕላስ ስነ ማጎር ቅርጽ ይህን ይመስላል፦
: <math> \int x^s \phi (x)\, dx,</math>
 
ተግባሩም አጠቃላይ የ[[ልዩነት እኩልዮሽ|ልዩነት እኩልዮሾችን]] ከከባድ ወደ ቀላል በማሻገር ምፍትሔያቸውን በተሻገረው ቅርጽ መፈለግ ነበር። ቀጥሎም አሁን የሚታወቀውን የላፕላስ ሽግግር በማጥናት ባህርዮንና ጥልቅ የሆነ እምቅ ጥቅሙን ለመገንዘብ ቻለ።<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|pp=261&ndash;262}}</ref> ላፕላስ የ[[ዮሴፍ ፎሪየር]]ን የሙቀት ሥርፀት ጥናትና የ[[ፎሪየር ዝርዝር]] መፍትሔውን ውሱን ኃይል ለመረዳትና አስፋፍቶ በራሱ ሽግግር ለበለጡ ጥያቄወች መልስ ለማግኘት ቻለ። <ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|pp=262&ndash;266}}</ref>
 
== የላፕላስ ሽግግር ደንበኛ ትርጓሜ ==
Line 30 ⟶ 26:
 
: <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt. </math>
[[ፓራሜትር]] ''s'' እዚህ ላይ የ[[አቅጣጫ ቁጥር]] ናት፣ ማለቱ
 
ማለቱ
 
: <math>s = \sigma + i \omega, \, </math> σ እና ω የውኑ ቁጥር ናቸው።
 
የ[[ሥነ ማጎር|ሥነ ማጎሩ]] (ኢንቴገራሉ) ምንነት እንደ አጠቃቀማችን ይለያያል። ለማጎሩ ህልውና የፈንክሽን ''ƒ'' በ[0,∞) [[መንደራዊ ታጉሮነት]]መታጎር መቻል [[አስፈላጊ]] ነው።.
 
 
=== ሁለት ጎን ላፕላስ ሽግግር ===
ላፕላስ ሽግግር ሲባል አብላጫውን ጊዜ ትርጓሜው አንድ ጎን ላፕላስ ሽግግር ማለት ነው።ነው (0 እና ከ0 በላይ) ። ነገር ግን የላፕላስ ሽግግር ሁሎንም የውን ቁጥሮች እንዲያሳትፍ ሆኖ ሊተረጎም ይችላል፣ ማለት የማጎሪያው መነሻና መድረሻ ከነጌቲቭ [[አዕላፍ]] እስከ ፖዚቲቭ አዕላፍ ማለት ነው። ሁለት ጎን የላፕላስ ሽግግር እንዲህ ይቀመራል፡
 
: <math>F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math>
Line 53 ⟶ 47:
 
== የሽግግሩ ሥነ ማጎር ውሱን የሚሆንበት አካባቢ ==
''ƒ'' [[መንደራዊ ታጉሮነት]]በየቦታው ጸባይመታጎር ያለው ፈንክሽንየሚችል [[ከሆነ]] የ''ƒ'' ላፕላስ ሽግግር ''F''(''s'') ውሱን ነው የሚባለው የሚከተለው [[ጥገት]]
 
: <math>\lim_{R\to\infty}\int_0^R f(t)e^{-ts}\,dt</math>
 
ኅልው ሲሆን ነው። የሚከተለው ስነእንግዲህ ማጎርይህ እንዲሆን ቀላል መፈተኛው ዘዴ
 
: <math>\int_0^\infty |f(t)e^{-ts}|\,dt</math>
 
ኅልው ከሆነ የዚያ ፈንክሽን ላፕላስ ሽግግር [[ውሱን ነው።ፈንክሽን|ውሱን]] ነው፣ ስለሆነም አለ (ኅልው ነው)።
 
== የሽግግሩ ፀባዮችኛ እርጉጦች ==
የላፕላስ ሽግግር ፀባዮች ሊኒያር [[የእንቅስቃሴ ስርዓት|የእንቅስቃሴ]] ስርዓቶችን ተንትኖ ለመረዳት የሚያስችሉ ብዙ ጥሩ ጸባዮች አሉት። በተለይ ዋናው ለዚህ ጉዳይ የሚጠቅመው ፀባዩ [[ሥነ ለውጥ]]ን ወደ [[ማባዛት]] እና [[ሥነ ማጎር]]ን ወደ[[ማካፈል]] በመቀየር ሂሳብን ማቃለሉ ነው። ይህ እንግዲህ [[ሎጋሪዝም]] ማባዛትን ወደ ሎጋሪዝም መደመር እና ማካፈልን ወደ ሎጋሪዝም መቀነስ እንደሚቀይረው አይነት ባህርይ ነው። ስለሆነም የላፕላስ ሽግግር የ[[ለውጥ እኩልዮሽ]]ና የ[[ማጎር እኩልዮሽ]]ን ወደ [[ፖሊኖሚያል]] እኩልዮሽ በመቀየር ስራን ከማቀላጠፍ በላይ እጅግ ያቃልላል። በዚህ ወቅት በጊዜ t ግዛት ውስጥ የነበሩት እኩልዮሾች ወደ s ግዛት ስለሚሻገሩ፣ የተገኘውን የላፕላስ ሽግግር መፍትሔ ወደ ጊዜ ግዛት እንደገና መቀየር ግድ ይላል። ይሔውም የሚከናወነው በ [[#የላፕላስ ሽግግር ግልብጥ|መገልበጥ]] ነው።
 
ሁለት ፈንክሽኖች ([[ቅን ተዛምዶወች]])፣ ''f''(''t'') እና ''g''(''t''), ቢሰጡንና የላፕላስ ተሻጋሪዎቻቸው ''F''(''s'') እና ''G''(''s'') ቢሰጡንቢሆኑ:
 
: <math> f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} </math>
: <math> g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} </math>
 
ይህን ልብ በማለት፣ የሚከተለው ሰንጠረዥ የላፕላስ ሽግግርንሽግግር ዋና ዋና ጠባዮች ይዘረዝራልከታች ይቀርባሉ :<ref>{{harv|Korn|Korn|1967|p=226&ndash;227}}</ref>
 
{| class="wikitable"
Line 88 ⟶ 82:
| <math> t f(t) \ </math>
| <math> -F'(s) \ </math>
| <math>F'\,</math> የ <math>F\, </math>[[ለውጥ]] ነው</math>.
|-
! [[ድግግሞሽ|የድግግሞሽ ለውጥ]]