ከ«ላፕላስ ሽግግር» ለውጦች መካከል ያለው ልዩነት
Content deleted Content added
ጥ Robot: Changing %E1%88%B3%E1%8B%AD%E1%8A%95%E1%88%B5 |
No edit summary |
||
መስመር፡ 12፦
የላፕላስ ሽግግር በእውቁ የሒሳብና ከዋክብት ሊቅ [[ፕሬ-ስሞን ላፕላስ ]] ስም የተሰየመ ሲሆን፣ ይሄው አጥኝ ይህን የሽግግር ግኝት የተጠቀመበት የ[[እድል ጥናቱን]] በቀላሉ ለማካሄድ ነበር። ከስሞን በፊት እርግጥ ነው [[ኦይለር]] የሚከተለውን አይነት [[ኢንቴግራል]] አጥንቷል፦
:<math> z = \int X(x) e^{ax}\, dx\text{ and }z = \int X(x) x^A \, dx,</math>
ይህንም ያጠናው አንድ አንድ የ[[ዲፈረንሻል ጥያቄወችን]] ለመመለስ ነበር ነገር ግን ነግሩን ጠለቅ ብሎ የማየት ዝንባሌ አላሳየም። [[ዮሴፍ ሉዊ ላግራንግ]] የተሰኘው የፈረንሳይ የሂሳብ ሊቅም በበኩሉ የ[[ኦይለር]] አድናቂ እንደሞሆኑ መጠን የ[[እድል
:<math> \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,</math>
መስመር፡ 18፦
ይህ ስሌት አሁን ካለንበት የላፕላስ ሽግግር ቀመር ጋር ተመሳሳይ ቢሆንም ቅሉ ያሁን እውቀት አካል እንጂ ሙሉ በሙሉ የላፕላስ ሽግግርን እንደማይወክል ስምምነት ላይ ተደርሷል። [[ላፕላስ]] በ1782አካባቢ ከላይ የተጠቀሰውን የ[[ኦይለርን]] ቀመር ለ[[ዲፈረንሻል ጥያቄ]] መልስነት ቢመረምርም ቅሉ በ1785 በጣም ወሳኝ ርምጃ ወስደ። ይሄውም ከላይ የተጻፉትን ኢንቴገራሎች እንደ የ[[ዲፈረንሻል ጥያቄ]] ከማየት ይልቅ እራሳቸውን የቻሉ የፈንክሽን አሻጋሪወች መሆናቸውን ተገነዘበ። ለዚህም ስራው እንዲረዳው ይህን የመሰለ የኢንቴግራል ቀመር መጠቀም ጀመረ፦
:<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>
አንዳንድ የሂሳብ ታሪክ አጥኘወች ይህን ፈንክሽን የዘመናዊው ላፕላስ ሽግግር [[ኅልዮት]] አካል አድርገው ያዩታል። <ref>{{harvnb|Lagrange|1773}}</ref><ref>{{harvnb|Grattan-Guinness| 1997|p=260}}</ref>
ኦይለርን በተከተለ መልኩ እኒህ አይነት [[ሥነ ማጎር|ሥነ ማጎሮች]](ኢንቴግራልስ) የላፕላስን ቀልብ ለመጀመሪያ ጊዜ የሳቡት በ1782ዓ.ም. ነበር። በዚህ ወቅት ሥነ ማጎሮቹን ይጠቀምበት የነበረው የለውጥ እኩልዮሾችን ለመፍታት ብቻ ነበር። <ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|p=261}}</ref>ነገር ግን 1785 ላይ ላፕላስ ዋና እርምጃ በመውሰድ ስነ ማጎሮቹን ለእኩልዮሽ መፍትሔነት ከመጠቀም ባሻገር አሁን ለምንጠቀምበት የማሻገር ተግባር መጠቀም ጀመረ። አዲሱ የላፕላስ ስነ ማጎር ቅርጽ ይህን ይመስላል፦
: <math> \int x^s \phi (x)\, dx,</math>
ተግባሩም አጠቃላይ የ[[ልዩነት እኩልዮሽ|ልዩነት እኩልዮሾችን]] ከከባድ ወደ ቀላል በማሻገር ምፍትሔያቸውን በተሻገረው ቅርጽ መፈለግ ነበር። ቀጥሎም አሁን የሚታወቀውን የላፕላስ ሽግግር በማጥናት ባህርዮንና ጥልቅ የሆነ እምቅ ጥቅሙን ለመገንዘብ ቻለ።<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|pp=261–262}}</ref> ላፕላስ የ[[ዮሴፍ ፎሪየር]]ን የሙቀት ሥርፀት ጥናትና የ[[ፎሪየር ዝርዝር]] መፍትሔውን ውሱን ኃይል ለመረዳትና አስፋፍቶ በራሱ ሽግግር ለበለጡ ጥያቄወች መልስ ለማግኘት ቻለ። <ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1997|pp=262–266}}</ref>
== የላፕላስ ሽግግር ደንበኛ ትርጓሜ ==
[[የፈንክሽን ግዛት|ግዛቱ]] ማናቸውም የ[[ውን ቁጥር]] ''t'' ≥ 0፣ የሆነ [[ፈንክሽን]] ''f''(''t'') ቢሰጠን፣ የዚህ ፈንክሽን '''የላፕላስ ሽግግር ''' ''F''(''s'') ትርጓሜ እንዲህ ነው:
: <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt. </math>
[[ፓራሜትር]] ''s'' እዚህ ላይ የ[[አቅጣጫ ቁጥር]] ናት፣
ማለቱ
: <math>s = \sigma + i \omega, \, </math> σ እና ω የውኑ ቁጥር ናቸው።
የ[[ሥነ ማጎር|ሥነ ማጎሩ]] (ኢንቴገራሉ) ምንነት እንደ አጠቃቀማችን ይለያያል። ለማጎሩ ህልውና የፈንክሽን ''ƒ'' በ[0,∞) [[መንደራዊ ታጉሮነት]] [[አስፈላጊ]] ነው።.
=== ሁለት ጎን ላፕላስ ሽግግር ===
ላፕላስ ሽግግር ሲባል አብላጫውን ጊዜ ትርጓሜው አንድ ጎን ላፕላስ ሽግግር ማለት ነው። ነገር ግን የላፕላስ ሽግግር ሁሎንም የውን ቁጥሮች እንዲያሳትፍ ሆኖ ሊተረጎም ይችላል፣ ማለት የማጎሪያው መነሻና መድረሻ ከነጌቲቭ አዕላፍ እስከ ፖዚቲቭ አዕላፍ ማለት ነው። ሁለት ጎን የላፕላስ ሽግግር እንዲህ ይቀመራል፡
: <math>F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.</math>
=== የላፕላስ ሽግግር ግልብጥ ===
[[የላፕላስ ሽግግር ግልብጥ]] በእንዲህ መልኩ በ[[አቅጣጫ ቁጥር]] ሥነ ማጎር ይጻፋል፡
: <math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{ \gamma - i T}^{ \gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,</math>
እዚህ ላይ <math>\gamma</math> የውኑ ቁጥር ነው።
== የሽግግሩ ሥነ ማጎር ውሱን የሚሆንበት አካባቢ ==
''ƒ'' [[መንደራዊ ታጉሮነት]] ጸባይ ያለው ፈንክሽን ከሆነ የ''ƒ'' ላፕላስ ሽግግር ''F''(''s'') ውሱን ነው የሚባለው የሚከተለው [[ጥገት]]
: <math>\lim_{R\to\infty}\int_0^R f(t)e^{-ts}\,dt</math>
ኅልው ሲሆን ነው። የሚከተለው ስነ ማጎር
: <math>\int_0^\infty |f(t)e^{-ts}|\,dt</math>
ኅልው ከሆነ የዚያ ፈንክሽን ላፕላስ ሽግግር ውሱን ነው።
== ፀባዮችኛ እርጉጦች ==
የላፕላስ ሽግግር ፀባዮች ሊኒያር [[የእንቅስቃሴ ስርዓት|የእንቅስቃሴ]] ስርዓቶችን ተንትኖ ለመረዳት የሚያስችሉ ብዙ ጥሩ ጸባዮች አሉት። በተለይ ዋናው ለዚህ ጉዳይ የሚጠቅመው ፀባዩ [[ሥነ ለውጥ]]ን ወደ [[ማባዛት]] እና [[ሥነ ማጎር]]ን ወደ[[ማካፈል]] በመቀየር ሂሳብን ማቃለሉ ነው። ይህ እንግዲህ [[ሎጋሪዝም]] ማባዛትን ወደ ሎጋሪዝም መደመር እና ማካፈልን ወደ ሎጋሪዝም መቀነስ እንደሚቀይረው አይነት ባህርይ ነው። ስለሆነም የላፕላስ ሽግግር የ[[ለውጥ እኩልዮሽ]]ና የ[[ማጎር እኩልዮሽ]]ን ወደ [[ፖሊኖሚያል]] እኩልዮሽ በመቀየር ስራን ከማቀላጠፍ በላይ እጅግ ያቃልላል። በዚህ ወቅት በጊዜ t ግዛት ውስጥ የነበሩት እኩልዮሾች ወደ s ግዛት ስለሚሻገሩ፣ የተገኘውን የላፕላስ ሽግግር መፍትሔ ወደ ጊዜ ግዛት እንደገና መቀየር ግድ ይላል። ይሔውም የሚከናወነው በ [[#የላፕላስ ሽግግር ግልብጥ|መገልበጥ]] ነው።
ሁለት ፈንክሽኖች ([[ቅን ተዛምዶወች]])፣ ''f''(''t'') እና ''g''(''t''), ቢሰጡንና የላፕላስ ተሻጋሪዎቻቸው ''F''(''s'') እና ''G''(''s'') ቢሰጡን:
: <math> f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} </math>
: <math> g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} </math>
ይህን ልብ በማለት፣ የሚከተለው ሰንጠረዥ የላፕላስ ሽግግርን ጠባዮች ይዘረዝራል:<ref>{{harv|Korn|Korn|1967|p=226–227}}</ref>
{| class="wikitable"
|+ '''የላፕላስ ሽግግር ጠባዮች '''
!
! በጊዜ ግዛት '''t''' ያለ ፈንክሽን
! በ'''s''' ግዛት ያለ ፈንክሽን
! አስተያየት
|-
! [[ቀጥተኛነት]] (ሊኒያሪቲ)
| <math> a f(t) + b g(t) \ </math>
| <math> a F(s) + b G(s) \ </math>
| በሥነ-ማጎር ጸባያት ማረጋገጥ ይቻላል
|-
! [[ድግግሞሽ|የድግግሞሽ ለውጥ]]
| <math> t f(t) \ </math>
| <math> -F'(s) \ </math>
| <math>F'\,</math> የ <math>F\, [[ለውጥ]] ነው</math>.
|-
! [[ድግግሞሽ|የድግግሞሽ ለውጥ]]
| <math> t^{n} f(t) \ </math>
| <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math>
| ከላይ ያለው ጠባይ በበለጠ ሲጠቃለል,የ F(s) ''n''<sup>ኛ</sup> [[ለውጥ]]
|-
! [[ለውጥ]]
| <math> f'(t) \ </math>
| <math> s F(s) - f(0) \ </math>
| ''ƒ'' እዚህ ላይ [[የሚለወጥ ፈንክሽን]] ነው። [[ሥነ ማጎር በየክፍሉ]] በሚባለው መንገድ ይገኛል
|-
! ሁለተኛ [[ለውጥ]]
| <math> f''(t) \ </math>
| <math> s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ </math>
| ''ƒ'' እዚህ ላይ ሁለት ጊዜ ተለዋጭ ፈንክሽን ነው። የ <math> f'(t)\, </math> እላይ የተጻፈ ጸባይ በመጠቀም ማግኘት ይቻላል።
|-
! አጠቃላይ [[ለውጥ]]
| <math> f^{(n)}(t) \ </math>
| <math> s^n F(s) - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0) \ </math>
| ''ƒ'' እዚህ ላይ ''n''-ጊዜ ተለዋጭ ነው።
|-
! [[ድግግሞሽ|የድግግሞሽ ስነ ማጎር]]
| <math> \frac{f(t)}{t} \ </math>
| <math> \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ </math>
|
|-
! [[ሥነ ማጎር|ሥነ ማጎር ]]
| <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau = (u * f)(t)</math>
| <math> {1 \over s} F(s) </math>
| <math>u(t)</math> ማለቱ [[ሒቭሳይድ ደረጃ ፈንክሽን]]ን ያመለክታል። <math>(u * f)(t)</math> የ<math>u(t) </math> እና <math>f(t)</math> [[ሽብሽብ]] (ኮንቮሉሽን) ነው።
|-
! መለጠጥ
| <math> f(at) \ </math>
| <math> {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right )</math>
| እዚህ ላይ <math>a</math> ፖዚቲቭ ነው
|-
! የድግግሞሽ መንሸራተት
| <math> e^{at} f(t) \ </math>
| <math> F(s - a) \ </math>
|
|-
! የጊዜ መንሸራተት
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math>
| <math> e^{-as} F(s) \ </math>
| <math>u(t)</math> የ [[ሒቭሳይድ ደረጃ ፈንክሽን]] ነው
|-
! [[ማባዛት]]
| <math> f(t) g(t) \ </math>
| <math> \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ </math>
| ''F'' ውስን በሆነበት አካባቢ ብቻ እና በቋሚ መስመሩ <math>Re(\sigma)=c</math> የጋራ ቦታ ላይ ሥነ ማጎሩ ይካሄዳል <ref>{{harvnb|Bracewell|2000|loc=Table 14.1, p. 385}}</ref>
|-
! [[ሽብሽብ]]
| <math> (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau</math>
| <math> F(s) \cdot G(s) \ </math>
| ''ƒ''(''t'') እና ''g''(''t'') በ''t'' < 0 ዋጋቸው ዜሮ እንደሆነ ተደርጎ ይሰራበታል
|-
! [[ተደጋጋሚ ፈንክሽን]]
| <math> f(t) \ </math>
| <math>{1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt </math>
| <math>f(t)</math> ተደጋጋሚ ፈንክሽን ሲሆን [[ድጋሜው]] <math>T</math> ሆኖ ሲያበቃ <math>f(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0</math>። ለዚህ ውጤት ምክንያቱ የጊዜ መንሸራተትና የ[[ጂዎሜትሪክ ዝርዝር]] ናቸው።
|}
* '''[[የመጀመሪያ ዋጋ እርጉጥ]]''':
: <math>f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.</math>
* '''[[የመጨረሻ ዋጋ እርጉጥ]]''':
: <math>f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}</math>, ማናቸውም [[ዋልታ (ውስብስብ ትንተና)|ዋልታወች]] (የ <math> sF(s) </math> ) በቁጥር ጠለል ግራ ጎን ላይ ከተገኙ ።
{{መዋቅር-ሳይንስ}}
[[መደብ:ምህንድስና]]
[[መደብ:ኮምፒዩተር]]
[[መደብ: ካልኩለስ]]
[[ar:تحويل لابلاس]]
| |||