ከ«የጆሜትሪክ ድርድር» ለውጦች መካከል ያለው ልዩነት
Content deleted Content added
No edit summary |
|||
መስመር፡ 1፦
[[File:GeometricSquares.svg|thumb|right|የወይነጠጆቹ አራት ማእዘኖች ስፋት ድምር የትልቁ ነጭ አራት ማእዘን 1/3ኛ ነው]]
በ[[ሒሳብ]] ጥናት ውስጥ አንድ የቁጥሮች [[
'''ምሳሌ''' ፦
: <math> \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots </math>
እያንዳንዱን ቀጣይ ቁጥር ከፊት ያለውን ቁጥር በ1/2 ኛ በማባዛት ማግኘት ስለምንችል ከላይ የተቀመጡው
[[የጆሜትሪ
==የጋራ ውድር==
ከላይ እንዳየነው እያንዳንዱ የጆሜትሪ
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
መስመር፡ 37፦
እያንዳንዱ አባል ቁጥር ባህርይ እንግዲህ በውድሩ መጠን ይወሰናል:
ውድሩ በ-1 እና በ+1 መካከል ከሆነ፣ የድርድሩ አባሎች ቁጥራቸው በጨመረ ጊዜ ይዘታቸው እየተመናመነ እና እየከሱ ይሄዳሉ፣ በዚህ ምክንያት ወደ ዜሮ በማያቋርጥ ሁኔታ ይነጉዳሉ። ከላይ ውድሩ 1/2ኛ የሆነው
ውድሩ +1 ከሆነ አባል ቁጥሮቹ አንድ ቋሚ ቁጥር ይይዛሉ። ለምሳሌ የመጀመሪያው ቁጥር 2 ከሆነ፣ ድርድሩ እንግዲህ 2፣2፣2፣2፣2፣2፣2፣2... ይሆናል ማለት ነው። የዚህ
==ድምር==
የጆሜትሪ
===ምሳሌ===
[[File:GeometricCircles.png|300px|thumb|right|[[ከራሱ ጋር ተመሳሳይ]]የሆኑ አባላት ያሉትን ድርድሮች እንዴት መደመር እንድሚቻል የሚያሳይ ስዕል። የመጀመሪያውን ትልቅ ክብ ከአጠቃላዩ ብናነሳ የምናገኘው አዲሱ የክቦች ስብስብ ከመጀመሪያው ጋር ተመሳሳይ ሆነው ግን 1/3ኛ በመጠናቸው ይሆናሉ]]
የሚከተለውን የጆሜትሪ
: <math> s\;=\; 1 \,+\, \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \cdots</math>
የዚህ
: <math>\frac{2}{3}s \;=\; \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \frac{16}{81} \,+\, \cdots</math>
የመጀመሪያው ቁጥር 1 በ 2/3ኛ ከመለወጡ ውጭ፣ ይህ አዲሱ
: <math> \frac{2}{3}s</math> ከመጀመሪያው አባል (1) በቀር የተቀሩት አባሎች በሙሉ እርስ በርሳቸው ይጠፋፋሉ:
: <math> s\,-\, \frac{2}{3}s \;=\; 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{thus}S=3.</math>
መስመር፡ 71፦
</blockquote>
ከላይ ያለው ፎርሙላ እንግዲ የሚሰራው ውድራቸው 1 ላልሆኑ ለማናቸውም የጆሜትሪ
ውድራቸው በ-1 እና በ 1ለሆኑ ድርድሮች ግን፣ አባሎቻቸው ማለቂያ ባይኖራቸው እንኳ ድምራቸው ይገኛል። ከዚህ በታች ዘዴው ተዘርዝሯል፦
መስመር፡ 92፦
</blockquote>
ይህ ፎርሙላ የሚሰራው ለ[[ተጠጊ ድርድሮች]] '''ብቻ''' እንደሆነ እንዳንረሳ። ማለት [[ተጠጊ ያልሆኑ]] ድርድሮችን በደፈናው ከላይ በተቀመጠው ፎርሙላ መደመር ይቻላል፦ ለምሳሌ ውድሩ 10 {nowrap|1= ''r'' = 10}} የሆነ አንድ
ይህ ጥንቃቄ ለ [[የአቅጣጫ ቁጥሮች]] [[complex number|complex]] ሳይቀር ይሰራል። ለምሳሌ የውድሩ መጠን ከ1 ካነሰ የሚከተለው
:<math> \sum_{k=1}^\infty ar^{-k} =\frac{a}{r} + \frac{a}{r^2} + \frac{a}{r^3} + \frac{a}{r^4} + \cdots = \frac{a}{r-1}.</math>
መስመር፡ 131፦
===የ[[ፓራቦላን]] ስፋት በ[[አርኪሜድ]] መንገድ ለማግኘት (ያለ ካልኩለስ) ===
[[File:Archimedes Parabola.svg|thumb|250px||right|በፓራቦላውና በቀጥተኛ መስመሩ መካከል የሚገኘው ስፋት የብዙ ሶስት ማእዘኖች [[ጥርቅም]] ውጤት ነው ።]]
[[አርኪሜድስ]] የተሰኘው የጥንቱ የግሪክ ሒሳብ ተመራማሪ በፓራቦላና በቀጥታ መስመር መካከል ያለውን ስፋት መጠን በ[[ጆሜትሪ
'''ማሳመኛ፦''' አርኪሜድስ ባደረገው ጥናት እያንዳንዱ ቢጫ ሶስት ማእዘን 1/8 የሰማያዊ ሶስት ማእዘኖችን የስፋት ይዘት እንዳላቸው ተረዳ፣ በተራቸው አረንጓዴወቹ ደግሞ 1/8 የቢጫወቹ እንደሆነ አረጋጠ...ወዘተረፈ.. እንግዲህ ሰማያዊው ሶስት ማእዘን ስፋቱ 1 ካሬ ሜትር ነው ብንል፣ ቢጫውን፣ አረንጌዴውንና ሌሎቹ የትየለሌ በፓራቦላውና በቀሩት ሶስት ማእዘኖች መካከል ያሉትን ጥቃቅን ሶስት ማእዘኖችን ስፋት ለመደመር እንዲህ እናደርጋለን ማለት ነው፦
መስመር፡ 141፦
:<math>1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.</math>
እንደምንገነዘበው ይ ሄ እንግዲህ የ[[ጆሜትሪ
<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>
መስመር፡ 164፦
:<math>\frac{\$ 100}{1+I} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^2} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^3} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^4} \,+\, \cdots.</math>
ይህ እንግዲህ የጆሜትሪ
:<math>\frac{a}{1-r} \;=\; \frac{\$ 100/(1+I)}{1 - 1/(1+I)} \;=\; \frac{\$ 100}{I}.</math> ይሆናል።
መስመር፡ 173፦
=== የታወቁ አንዳንድ የጆሜትሪ ድርድሮች ===
*[[Gandi's series | የጋንዲ
*[[1 + 2 + 4 + 8 + · · ·]]
*[[1 − 2 + 4 − 8 + · · ·]]
|