ከ«የጆሜትሪክ ድርድር» ለውጦች መካከል ያለው ልዩነት

Content deleted Content added
No edit summary
መስመር፡ 1፦
[[File:GeometricSquares.svg|thumb|right|የወይነጠጆቹ አራት ማእዘኖች ስፋት ድምር የትልቁ ነጭ አራት ማእዘን 1/3ኛ ነው]]
በ[[ሒሳብ]] ጥናት ውስጥ አንድ የቁጥሮች [[ድርድርዝርዝር]] በቀዳሚና ተከታይ አባሎቹ መካከል ቋሚ ውድር (ratio) ካለው ያ ድርድርዝርዝር [[የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር]] ይባላል።
 
'''ምሳሌ''' ፦
: <math> \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots </math>
 
እያንዳንዱን ቀጣይ ቁጥር ከፊት ያለውን ቁጥር በ1/2 ኛ በማባዛት ማግኘት ስለምንችል ከላይ የተቀመጡው ድርድርዝርዝር የጆሜትሪ ድርድር ዝርዝር ይባላል።
 
[[የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር]] ቀላል ቢመስልም ጥቅሙ ግን ስፋት ባላቸው የጥናትና ምርት ምህንድስና ስራወች ላይ ከፍተኛ ጠቃሚነት አለው። አንድናንድ የጆሜትር ድርድሮች ለዘላለም ይቀጥሉ እንጂ ድምር ውጤታቸው ግን የተወሰነ ቋሚ ቁጥር ስለሆነ ለ[[ካልኩለስ]] ጥናት መወለድ እና እድገት ከፍተኛ አስተዋጾ አድርጓል። ባጠቃላይ መልኩ የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር በ[[ምህንድስና]]፣ [[ስነ-ተፈጥሮ]]፣ [[ካልኩለስ]]፣ [[ሒሳብ]]፣ [[ስነ-ህይወት]]፣ [[ኮምፒዩተር ሳይንስ]]፣ [[ስነ-ንዋይ]]] እና መሰል የጥናት ዘርፎች ውስጥ ግልጋሎት እየሰጠ ያለ የሒሳብ መሳሪያ ነው።
 
==የጋራ ውድር==
ከላይ እንዳየነው እያንዳንዱ የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር አባል ከፊት ካለው አባል በአንድ ቋሚ ቁጥር እይተባዛ የሚገኝ ነው። እታች ያለው ሰንጠረዥ ይሄን ጉዳይ ለማስረዳት ይሞክራል፦
 
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
መስመር፡ 37፦
 
እያንዳንዱ አባል ቁጥር ባህርይ እንግዲህ በውድሩ መጠን ይወሰናል:
ውድሩ በ-1 እና በ+1 መካከል ከሆነ፣ የድርድሩ አባሎች ቁጥራቸው በጨመረ ጊዜ ይዘታቸው እየተመናመነ እና እየከሱ ይሄዳሉ፣ በዚህ ምክንያት ወደ ዜሮ በማያቋርጥ ሁኔታ ይነጉዳሉ። ከላይ ውድሩ 1/2ኛ የሆነው ድርድርዝርዝር አባላቱ ወደ ዜሮ እየተጠጉ እንደሚሄዱ በአይነ ህሊናችን ልንደርስበት እንችላለን :፡ ወደሁዋላ ላይ እንደምናየው ይህ ጸባይ፣ አጠቃላይ ድምራቸው ቋሚ ቁጥር እንዲሆን አስችሏቸዋል። በአንጻሩ የድርድሩ ውድር ከ -1 ካነሰ ወይም ከ1 ከበለጠ፣ የድርድሩ አባሎች እየወፈሩና መጠን እያጡ ይሄዳሉ። እነዚህ አባሎች ቢደመሩ፣ ባይነ ህሊናችን ማስተዋል እንድምንችለው ድምሩ ከጊዜ ወደጊዜ እየጨመረ እንጂ እያነሰ አይሄድም። በዚህም ክንያት [[ማንንም የማይጠጋ ድርድርዝርዝር]] (''Divergent Series'') እንለዋለን።
 
ውድሩ +1 ከሆነ አባል ቁጥሮቹ አንድ ቋሚ ቁጥር ይይዛሉ። ለምሳሌ የመጀመሪያው ቁጥር 2 ከሆነ፣ ድርድሩ እንግዲህ 2፣2፣2፣2፣2፣2፣2፣2... ይሆናል ማለት ነው። የዚህ ድርድርዝርዝር ድምር ወጤትም እያደገ ስለሚሄድ ማንንም ቁጥር አይጠጋም ስለዚህ ''ማንንም የማይጠጋ ድርድርዝርዝር'' ነው ማለት ነው። በአንጻሩ ውድሩ -1 ክሆነ አባል ቁጥሮቹ አንድ አይነት መጠን ኖሮዋቸው ነገር ግን በነጌትቭ እና ፖዘቲቭ ቁጥርነት ይዋልላሉ። ለምሳሌ የመጀመሪያው ቁጥር -3 ቢሆን ድርድሩ ይህን ይመስላል -3፣3፣-3፣3፣-3፣... የዚህ ድርድርዝርዝር ውጤትም 0፣ -3፣ 0፣ -3፣...እያለ ዥዋዥዌ ስለሚጫወት፣ ''ማንንም የማይጠጋ ድርድርዝርዝር'' ነው ማለት ነው።
 
==ድምር==
የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር ድምር ውጤት ሊተነበይ ይችላል። ይህ ግን እሚሆነው ወይም ለተወሰኑ የድርድርየዝርዝር አባሎች ወይም ደግሞ ለየተይሌሌ ከሆነ ውድራቸው በ-1 እና በ1 መካከል ለሆኑት ወይም ደግሞ በሌላ አባባል አባል ቁጥራቸው ወደ ዜሮ እየተጠጋ ለሚሄዱት ብቻ ነው። ድምሩም የሚገኝበት ዘዴ በጣም ቀላል ነው ምክንያቱም እያንዳንዱ አባል ከሱ በፊት ያለው አባል ብዜት ስለሆነና ማብዣውም ቋሚ ስለሆነ ይህን ተመሳሳይ ባህርይ የማስላቱን መንገድ እጅግ ቀላል ያድረገዋል። ይህን ዘዴ እንመልከት፦
===ምሳሌ===
[[File:GeometricCircles.png|300px|thumb|right|[[ከራሱ ጋር ተመሳሳይ]]የሆኑ አባላት ያሉትን ድርድሮች እንዴት መደመር እንድሚቻል የሚያሳይ ስዕል። የመጀመሪያውን ትልቅ ክብ ከአጠቃላዩ ብናነሳ የምናገኘው አዲሱ የክቦች ስብስብ ከመጀመሪያው ጋር ተመሳሳይ ሆነው ግን 1/3ኛ በመጠናቸው ይሆናሉ]]
የሚከተለውን የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር ድምር እንመልከት:
: <math> s\;=\; 1 \,+\, \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \cdots</math>
የዚህ ድርድርዝርዝር ውድር እንግዴህ 2/3ኛ ነው። እንግዲህ ድርድሩን በሙሉ በ2/3ኛ ብናበዛ, ድሮ 1 የነበር አሁን 2/3ኛ ይሆናል, 2/3 ድግሞ 4/9 ይሆናል, 4/9 ወደ 8/27ኛ ይለወጣል ...ወዘተረፈ
: <math>\frac{2}{3}s \;=\; \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \frac{16}{81} \,+\, \cdots</math>
የመጀመሪያው ቁጥር 1 በ 2/3ኛ ከመለወጡ ውጭ፣ ይህ አዲሱ ድርድርዝርዝር ከድሮው ድርድርዝርዝር ጋር ምንም ልዩነት የለውም ። እንግዴህ አዲሱን ድርድርዝርዝር ከድሮው ድርድርዝርዝር ስንቀንስ
: <math> \frac{2}{3}s</math> ከመጀመሪያው አባል (1) በቀር የተቀሩት አባሎች በሙሉ እርስ በርሳቸው ይጠፋፋሉ:
: <math> s\,-\, \frac{2}{3}s \;=\; 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{thus}S=3.</math>
መስመር፡ 71፦
</blockquote>
 
ከላይ ያለው ፎርሙላ እንግዲ የሚሰራው ውድራቸው 1 ላልሆኑ ለማናቸውም የጆሜትሪ ድርድር ዝርዝር ሲሆን፣ የተደማሪወቹ ቁጥር የተወሰነ ወይም ደግሞ የትየለሌ ያልሆነ መሆን አለበት።
ውድራቸው በ-1 እና በ 1ለሆኑ ድርድሮች ግን፣ አባሎቻቸው ማለቂያ ባይኖራቸው እንኳ ድምራቸው ይገኛል። ከዚህ በታች ዘዴው ተዘርዝሯል፦
 
መስመር፡ 92፦
</blockquote>
 
ይህ ፎርሙላ የሚሰራው ለ[[ተጠጊ ድርድሮች]] '''ብቻ''' እንደሆነ እንዳንረሳ። ማለት [[ተጠጊ ያልሆኑ]] ድርድሮችን በደፈናው ከላይ በተቀመጠው ፎርሙላ መደመር ይቻላል፦ ለምሳሌ ውድሩ 10 {nowrap|1= ''r'' = 10}} የሆነ አንድ ድርድርዝርዝር በላይ ባለው ፎርሙላ ብንደመርው {{nowrap|1= ''s'' = &minus;1/9}} የሚል መልስ እናገኛልን ነገር ግን ይሄ ስህተት ነው ምክናይቱም ውድሩ 10 የሆነ ድርድርዝርዝር [[ተጠጊ ድርድርዝርዝር]] አይደለማ።
 
ይህ ጥንቃቄ ለ [[የአቅጣጫ ቁጥሮች]] [[complex number|complex]] ሳይቀር ይሰራል። ለምሳሌ የውድሩ መጠን ከ1 ካነሰ የሚከተለው ድርድርዝርዝር [[ተጠጊ ድርድርዝርዝር]] ይሆናል፦
 
:<math> \sum_{k=1}^\infty ar^{-k} =\frac{a}{r} + \frac{a}{r^2} + \frac{a}{r^3} + \frac{a}{r^4} + \cdots = \frac{a}{r-1}.</math>
መስመር፡ 131፦
===የ[[ፓራቦላን]] ስፋት በ[[አርኪሜድ]] መንገድ ለማግኘት (ያለ ካልኩለስ) ===
[[File:Archimedes Parabola.svg|thumb|250px||right|በፓራቦላውና በቀጥተኛ መስመሩ መካከል የሚገኘው ስፋት የብዙ ሶስት ማእዘኖች [[ጥርቅም]] ውጤት ነው ።]]
[[አርኪሜድስ]] የተሰኘው የጥንቱ የግሪክ ሒሳብ ተመራማሪ በፓራቦላና በቀጥታ መስመር መካከል ያለውን ስፋት መጠን በ[[ጆሜትሪ ድርድርዝርዝር]] ነበር ያገኘው። በዚህም ጥረቱ አርኪሜድስ የፓራቦላውን አጠቃላይ ስፋት የሰማያዊው ሶስት ማእዘን 4/3ኛ እንደሆነ አረጋግጦአል። ይህ አስደናቂ የሚሆንበት ያለምንም ካልኩለስ ጥናት ይህን ውጤት ማግኘቱ ነው።
 
'''ማሳመኛ፦''' አርኪሜድስ ባደረገው ጥናት እያንዳንዱ ቢጫ ሶስት ማእዘን 1/8 የሰማያዊ ሶስት ማእዘኖችን የስፋት ይዘት እንዳላቸው ተረዳ፣ በተራቸው አረንጓዴወቹ ደግሞ 1/8 የቢጫወቹ እንደሆነ አረጋጠ...ወዘተረፈ.. እንግዲህ ሰማያዊው ሶስት ማእዘን ስፋቱ 1 ካሬ ሜትር ነው ብንል፣ ቢጫውን፣ አረንጌዴውንና ሌሎቹ የትየለሌ በፓራቦላውና በቀሩት ሶስት ማእዘኖች መካከል ያሉትን ጥቃቅን ሶስት ማእዘኖችን ስፋት ለመደመር እንዲህ እናደርጋለን ማለት ነው፦
መስመር፡ 141፦
:<math>1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.</math>
እንደምንገነዘበው ይ ሄ እንግዲህ የ[[ጆሜትሪ ድርድርዝርዝር]] ሲሆን የጋራ ውድሩም{{nowrap|1/4}} ነው። ስለዚህ ከላይ ባገኘነው ፎርሙላ መሰረት አጠቃላይ ስፋቱ እንዲህ ይሆናል፦
 
<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>
መስመር፡ 164፦
:<math>\frac{\$ 100}{1+I} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^2} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^3} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^4} \,+\, \cdots.</math>
 
ይህ እንግዲህ የጆሜትሪ ድርድርዝርዝር ሲሆን የጋራ ውድሩም 1&nbsp;/&nbsp;(1&nbsp;+&nbsp;''I'')ነው። ከላይ ባገኘነው ፎርሙላ ስንደምረው
 
:<math>\frac{a}{1-r} \;=\; \frac{\$ 100/(1+I)}{1 - 1/(1+I)} \;=\; \frac{\$ 100}{I}.</math> ይሆናል።
መስመር፡ 173፦
 
=== የታወቁ አንዳንድ የጆሜትሪ ድርድሮች ===
*[[Gandi's series | የጋንዲ ድርድርዝርዝር ]]
*[[1 + 2 + 4 + 8 + · · ·]]
*[[1 − 2 + 4 − 8 + · · ·]]